Đồ thị dạng quang phổ của hàm z = ex + iy. Hướng từ tối đến sáng theo chiều tăng của trục thực cho thấy hàm số là đơn điệu tăng. Các vạch màu luân phiên tuần hoàn song song với trục thực cho thấy hàm là hàm tuần hoàn.

Người ta đã chứng minh được trong mặt phẳng phức thì công thức ước lượng trên vẫn đúng. Do vậy mọi tính chất của hàm mũ số mũ thực đều đúng trong số mũ phức.

Khi đó, biểu thị:

e x + i y = e x × e i y {\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}\times e^{iy}}

Theo công thức Euler ta có: e i y = cos ⁡ y + i sin ⁡ y {\displaystyle e^{iy}=\cos y+i\sin y}

Như vậy: e x + i y = e x ( cos ⁡ y + i sin ⁡ y ) {\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)} . Theo đó hàm tuần hoàn theo chu kỳ 2πi.

Tuy nhiên cần lưu ý, phép nâng lũy thừa trong hàm mũ phức không hề giống như mũ thực:

( e z ) w ≠   e ( z w ) {\displaystyle (e^{z})^{w}\not =\ e^{(zw)}}

• Đồ thị hàm Z = Re(ex + iy).
• Đồ thị hàm Z = Im(ex + iy).
• .

Nếu như cơ số cũng là số phức người ta tính như sau:

a b = ( r e θ i ) b = e b ( ln ⁡ r + θ i ) {\displaystyle a^{b}=\left(re^{{\theta }i}\right)^{b}=e^{b(\ln r+{\theta }i)}} .